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标题: 一道中学数学题 [打印本页]

作者: 群群 时间: 2006-12-18 11:51 标题: 一道中学数学题

在一个平面内有三个互不相交的等圆A,B,C. 每个圆上各取一点，即a,b,c。问怎么取这三个点才能使角abc(b是角的顶点)最大或最小？

作者: 伊丽莎白女王 时间: 2006-12-18 13:30

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作者: 群群 时间: 2006-12-18 14:36

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 13:30 发表
一般几何还是解析集合啊?

这个就是仁者见仁，智者见智了。

作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-18 14:55

这道题有点挑战哦。其实，求最大角或者最小角，都是一样的，只要找到最小角，那么它的补角就是最大角了。
取圆ABC的圆心连线，则为一个三角形（如果连成一直线为特殊情况）。
取此三角形的两边线的中垂线，交于一点，设为o点，则可以作一个经过三个小圆圆心的大圆设半径为R，并且还可以作一个半径为R＋r的圆，分别交三个圆ABC于mbn。
连接o点和圆B的圆心，并延长至半径为R＋r的圆上，显然交于b点。
那样子，b点可以确定下来了。然后，经过b点，分别作圆A和圆C的切线，分别交于a点和c点。
如此，角abc的最小值就找到了。

对于极端情况，圆ABC圆心连成一直线。
若圆B的圆心在圆A和圆C的延长线上，那么最小角为0度，最大角为360度。
否则，作法跟非极限情况一样，只是大圆R的半径为无限大。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 09:49 编辑 ]

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作者: seefilm 时间: 2006-12-18 15:13

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作者: 伊丽莎白女王 时间: 2006-12-18 15:15

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作者: seefilm 时间: 2006-12-18 15:15

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作者: 群群 时间: 2006-12-18 15:18

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 15:15 发表

如果这 3 个圆的圆心位置在 1 条线上, 还有讨论的意义吗?

这是一种可能性，当然还有其他可能性。

作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-18 15:21

原帖由 seefilm 于 2006-12-18 15:13 发表
错误，上图中AC最高点连接上直线和B下方的交点，就比你那个最大角大。

首先，我说这道题有点挑战性，是因为它没有说清楚，看角最大最小，是什么范围内！
这个角可以是钝角、也可以是锐角。

所以，我所给出的解法，如果你算角abc的钝角的话，则完全正确。

如果三个圆的圆心在一条直线上，那么如果圆B在圆A和圆C中间，最大的角就是180度；否则就是360度。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-18 15:25 编辑 ]

作者: 伊丽莎白女王 时间: 2006-12-18 15:28

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作者: 伊丽莎白女王 时间: 2006-12-18 15:29

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作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-18 15:32

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 15:29 发表

那感觉出这种题目没有什么意思啊!!

本来就是。不过，考虑到中学的题目，所以，什么方程解就用不到了。

不过，lz如果知道答案，为什么不公布呢？莫非我提出的一个解法推翻了原来的答案？^_^

作者: chinesesongs 时间: 2006-12-18 17:25

原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 15:15 发表

如果这 3 个圆的圆心位置在 1 条线上, 还有讨论的意义吗?

当然有意义啦？这又不是讨论圆心连成的角。

作者: chinesesongs 时间: 2006-12-18 17:32

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-18 15:21 发表

首先，我说这道题有点挑战性，是因为它没有说清楚，看角最大最小，是什么范围内！
这个角可以是钝角、也可以是锐角。

所以，我所给出的解法，如果你算角abc的钝角的话，则完全正确。

如果三个圆的圆 ...

这道题关键是证明结果吧，光给答案非应试手段呀

证明过程万一蒙上了说不定还能捞点儿分儿。

。。。更何况答案如果不对，那一分儿也得不了了。。。就比如你这个

。。。明显若想找大角的话应该往下面两个园的左右外侧找呀，你敢说从里侧弄了个角就说大小通吃

即便是找最小角的问题，显然从你那个顶点往下面两个园内侧引切线也比你那个小呀

貌似你随便发现了两个角然后就主张是最大或者最小的说

作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-18 17:41

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-18 17:32 发表
这道题关键是证明结果吧，光给答案非应试手段呀证明过程万一蒙上了说不定还能捞点儿分儿。

。。。更何况答案如果不对，那一分儿也得不了了。。。就比如你这个。。。明显若想找 ...

大哥或者大姐啊：

你小时候数学有没有学好啊？

你倒给个解法？

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-18 17:48 编辑 ]

作者: chinesesongs 时间: 2006-12-18 17:53

楼上，从证明的角度想想先？

你那个图里，ba继续延长是会跟圆A相交于a之外的第二点的，因为它不是b点到圆A的切线。b点到圆A右侧连一条切线就肯定在你那个ba线右边对不？这个切线跟bc组成的角就比你的角abc小，还要什么根据呀。。。更何况ba和bc两条都被切线替代。

找最大角和最小角都至少应该想到切线问题吧，关键是看角的顶点怎么确定，我晕

作者: chinesesongs 时间: 2006-12-18 18:03

找小角的话，你倒是说说下面abc和dbc哪个更小？

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-18 18:04

找大角的话，你倒是说说下面abc和dbe哪个更大:naughty:

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作者: toothy 时间: 2006-12-18 19:07

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-18 18:04 发表
找大角的话，你倒是说说下面abc和dbe哪个更大:naughty:

题目说是三个等圆

作者: toothy 时间: 2006-12-18 19:12

不用讨论了。我只提示大家一句话：

大角对大边

设法找到可能的最长边，然后找对应角。
所以说是中学问题。

作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-18 19:37

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-18 18:04 发表
找大角的话，你倒是说说下面abc和dbe哪个更大:naughty:

不好意思，我承认我之前的解法有点问题。不过，麻烦你看看我之前修改的解法。

我的思路主要是要先确定下圆B上的b点。因为，三个圆是等圆的关系，所以先通过三个圆心找到一个大圆的圆心，作大圆。然后交于圆B上的点就是b点。然后，就按照你所说的作切线的办法，找到其余的a点和c点。就等到所谓的答案了。

望赐教！

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-18 20:31 编辑 ]

作者: qquchn 时间: 2006-12-18 20:34

原帖由 toothy 于 2006-12-18 19:12 发表
不用讨论了。我只提示大家一句话：

大角对大边

设法找到可能的最长边，然后找对应角。
所以说是中学问题。

你这个是个必要条件不是充要条件

因为一条边只能确定2个定点第三个顶点还在一个（x-x0)^2＋（y-y0）^2=a^2的轨迹上运动，而定点在此运动中，长边对角是不断变化的。

如果解除精确解需要使用余弦定理 Cos B=（a^2+c^-b^2）/(2ac) 然后用反余弦函数求得度数。

如果用中学的思维方式处理问题，这么多年干饭不是白吃了？

如果三个圆圆心共线那么最大角度取无限接近180度最小角度无限接近0

如果圆心不共线则如图

[ 本帖最后由 qquchn 于 2006-12-18 21:14 编辑 ]

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-19 13:26

报告一哈，答案我想出来了

新的是否有改动还没看，不过以前各位的答案都是错的:naughty:

早上听seminar特没劲，猛然想起来这道题，想了想，其实用了也就十分钟吧，颇有点儿小人得志的快感

原来答案这么简单呀。。。

不过我的答案与是否等圆无关，等圆这个条件一开始还真没注意到，不过无论是否等圆都一样呀，所以我怀疑出题人提出“等圆”，有点儿可能是并不知道正确的答案

下面要解释咯。。。答案简单，不过说起来有点儿点儿费劲。。。分三步

作者: chinesesongs 时间: 2006-12-19 13:39

思路基本上就是我昨天说的那个。首先必须明确一点的是大边对大角，这是第一步的一个条件。。。而已！。。。

简单说最大角必然是下面第一个图的形式，最小角必然是第二个图的形式，其中的射线都是切线，这个我上面也已经讲过了，不再赘述。关键是顶点应该在哪个圆上。第三个图说明了确定的方法，每两个圆外侧做切线，组成个三角形，其中，最大边对应的角就是能做出题目要求最大角的那个圆了。

不过我实在没看出有什么必要非得先确定大边，既然边的长短能够比较，为什么不直接比较角的大小，莫非有只能尺规作图的条件限制，那样就比较说得通了，而且也符合三个等圆这个条件，因为等圆下圆心连线就是两圆的外切线（二者是平行的），这样讲起来题目强调是等圆还算有一定意义。

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-19 13:48

然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线（这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线）。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线，并且分别各自切此圆于内外两侧。这内外两个切点就分别是我们要找的角的顶点了。答案得出

不过别急，问题是你怎么知道这两个点引出的切线所组成的角就是极值？嘿嘿，没错儿，证明起来还是有点儿小意思的

ps:注意哟，角的两边是另两个圆的切线呀，这个就跟什么圆心连线啥的没任何关系了。

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-19 14:12

答案的道理来了

。。。

以找最大角为例，在顶点所在圆上任取答案中两切点之外的任一点a，分别做另外个圆的外切线ab和ac，则该角bac的两条边中至少有一条（只有一条的情况是另一边切于此圆）必然会跟顶点所在圆有第二个焦点，比如说ac就跟顶点所在圆相交于第二点d，从d点向左下的圆做切线de，显然现在重新得出的角edc，比原来的角bac大，从而bac肯定不是最大角！

（“显然”？你要是真不同意这是显然的事儿，那我就再罗索两句：线段adc不动，从射线ab开始顺时针转向移动，达到新的射线de,你说这个角度不是必然变大是什么？或者干脆更“傻解释”一下，从a点作de的平行线，这个平行线与ac形成的角必然大于角bac吧，而这个角度正是新角edc呀，哈哈）

同理，新角edc如果不是大案中提到的切点，则一样会有至少一条边必然跟顶点所在圆有第二个焦点，比如de交顶点所在圆于另一点g，则显然新新角egf比“新角”edc又大了。。。依此类推，一步一步新角越来越大，什么时候达到最值呢？角的两条边都分别不再与顶点所在圆有第二个交点的时候！也就是答案中所提到的切点！:naughty:

[ 本帖最后由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:14 编辑 ]

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-19 14:23

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-18 19:37 发表

不好意思，我承认我之前的解法有点问题。不过，麻烦你看看我之前修改的解法。

我的思路主要是要先确定下圆B上的b点。因为，三个圆是等圆的关系，所以先通过三个圆心找到一个大圆的圆心，作大圆。然后交 ...

这么客气

说说你的证明

作者: Klein_Yu 时间: 2006-12-19 17:39

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:23 发表
这么客气

说说你的证明

你先看看之前，我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆，它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法，只要找到圆心o，就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了，对应于o点的距离最大为R＋r，最小为R-r。
然后做切线，就得到了答案。

不过，你的答案解法有点麻烦哦。不过，估计结果是一样的。切线做得多，有点晕哦！
你说呢？

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:44 编辑 ]

作者: everest 时间: 2006-12-19 21:00

原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 13:48 发表
然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线（这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线）。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线， ...

同意，这样说简单点，过两个圆心做直线，再过另一个圆做与此直线平行的切线，外切点为最小角顶点，内切点为最大角之顶点，从两顶点做与另外两个圆的切线，既得最大最小角。

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作者: dongfeng71 时间: 2006-12-19 22:01

众牛人牛解万岁！

看来还真是集思广益啊。研讨氛围鼓舞大家循序渐进、步步登高！

作者: 亨利八世 时间: 2006-12-19 23:27

德国中学有这么变态的题 ?

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作者: chinesesongs 时间: 2006-12-20 14:09

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:39 发表

你先看看之前，我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆，它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法，只要找到圆心o，就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了，对应于o点的距离最大 ...

我现在也对正确答案是什么有些怀疑了

你这个答案哈，说说我的想法：1“只要找到最小角，那么它的补角就是最大角了”，但最小角的补角并不一定也同时经过三个圆呀；2还是没明白你究竟为什么说自己找到的角就是最小角。“对应于o点的距离最大为R＋r，最小为R-r”，so what？然后呢,zai gei duo jiangjiang

omg, turan buneng xie zhongwen le...

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