MATLAB

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1.      MATLAB的概况

　　MATLAB是矩阵实验室（Matrix　Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。

　　MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多.

　当前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox).工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包.功能工具包用来扩充MATLAB的符号计算,可视化建模仿真,文字处理及实时控制等功能.学科工具包是专业性比较强的工具包,控制工具包,信号处理工具包,通信工具包等都属于此类.

　开放性使MATLAB广受用户欢迎.除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包.

2.      MATLAB产生的历史背景

　在70年代中期,Cleve Moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序库.EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序库,LINPACK是解线性方程的程序库.在当时,这两个程序库代表矩阵运算的最高水平.

　到70年代后期,身为美国New Mexico大学计算机系系主任的Cleve Moler,在给学生讲授线性代数课程时,想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库,但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序.Cleve Moler给这个接口程序取名为MATLAB,该名为矩阵(matrix)和实验室(labotatory)两个英文单词的前三个字母的组合.在以后的数年里,MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用,并作为面向大众的免费软件广为流传.

　1983年春天,Cleve Moler到Standford大学讲学,MATLAB深深地吸引了工程师John Little.John Little敏锐地觉察到MATLAB在工程领域的广阔前景.同年,他和Cleve Moler,Steve Bangert一起,用C语言开发了第二代专业版.这一代的MATLAB语言同时具备了数值计算和数据图示化的功能.

　1984年,Cleve Moler和John Little成立了Math Works公司,正式把MATLAB推向市场,并继续进行MATLAB的研究和开发.

　在当今30多个数学类科技应用软件中,就软件数学处理的原始内核而言,可分为两大类.一类是数值计算型软件,如MATLAB,Xmath,Gauss等,这类软件长于数值计算,对处理大批数据效率高;另一类是数学分析型软件,Mathematica,Maple等,这类软件以符号计算见长,能给出解析解和任意精确解,其缺点是处理大量数据时效率较低.MathWorks公司顺应多功能需求之潮流,在其卓越数值计算和图示能力的基础上,又率先在专业水平上开拓了其符号计算,文字处理,可视化建模和实时控制能力,开发了适合多学科,多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB.经过多年的国际竞争,MATLAB以经占据了数值软件市场的主导地位.

　在MATLAB进入市场前，国际上的许多软件包都是直接以FORTRANC语言等编程语言开发的。这种软件的缺点是使用面窄，接口简陋，程序结构不开放以及没有标准的基库，很难适应各学科的最新发展，因而很难推广。MATLAB的出现，为各国科学家开发学科软件提供了新的基础。在MATLAB问世不久的80年代中期，原先控制领域里的一些软件包纷纷被淘汰或在MATLAB上重建。

　MathWorks公司1993年推出了MATLAB 4。0版，1995年推出4。2C版（for win3。X）1997年推出5。0版。1999年推出5。3版。MATLAB 5。X较MATLAB 4。X无论是界面还是内容都有长足的进展，其帮助信息采用超文本格式和PDF格式，在Netscape 3。0或IE 4。0及以上版本，Acrobat Reader中可以方便地浏览。

　时至今日，经过MathWorks公司的不断完善，MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。在国外，MATLAB已经经受了多年考验。在欧美等高校，MATLAB已经成为线性代数，自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生，硕士生，博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛用于科学研究和解决各种具体问题。在国内，特别是工程界，MATLAB一定会盛行起来。可以说，无论你从事工程方面的哪个学科，都能在MATLAB里找到合适的功能。

2．MATLAB的语言特点

　一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，正如同FORTRAN和C等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的MATLAB，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MATLAB最突出的特点就是简洁。MATLAB用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C和       FORTRAN语言的冗长代码。MATLAB给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下MATLAB的主要特点。

1）。语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技开发是站在专家的肩膀上。

　具有FORTRAN和C等高级语言知识的读者可能已经注意到，如果用FORTRAN或C语言去编写程序，尤其当涉及矩阵运算和画图时，编程会很麻烦。例如，如果用户想求解一个线性代数方程，就得编写一个程序块读入数据，然后再使用一种求解线性方程的算法（例如追赶法）编写一个程序块来求解方程，最后再输出计算结果。在求解过程中，最麻烦的要算第二部分。解线性方程的麻烦在于要对矩阵的元素作循环，选择稳定的算法以及代码的调试动不容易。即使有部分源代码，用户也会感到麻烦，且不能保证运算的稳定性。解线性方程的程序用FORTRAN和C这样的高级语言编写，至少需要四百多行，调试这种几百行的计算程序可以说很困难。以下用MATLAB编写以上两个小程序的具体过程。

MATLAB求解下列方程，并求解矩阵A的特征值。

Ax=b,其中：

A= 32    13    45    67

   23    79    85    12

   43    23    54    65

   98    34    71    35

b=   1

     2

     3

     4

解为：x=A;设A的特征值组成的向量e，e=eig（A）。

　可见，MATLAB的程序极其简短。更为难能可贵的是，MATLAB甚至具有一定的智能水平，比如上面的解方程，MATLAB会根据矩阵的特性选择方程的求解方法，所以用户根本不用怀疑MATLAB的准确性。

2）运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。

3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。

4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。

5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。

6）MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。

7）MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。

8）功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的，如control,toolbox,signl proceessing toolbox,commumnication toolbox等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究。

9）源程序的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。

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1．MATLAB的基本知识

1-1、基本运算与函数   

在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（>>）之後，并按入Enter键即可。例如：   

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25   

ans =4.2000   

MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer）并显示其数值於萤幕上。

小提示： ">>"是MATLAB的提示符号（Prompt），但在PC中文视窗系统下，由於编码方式不同，此提示符号常会消失不见，但这并不会影响到MATLAB的运算结果。   

我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x：   

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25   

x = 42  

此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知，MATLAB认识所有一般常用到的加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（^）。   

小提示： MATLAB将所有变数均存成double的形式，所以不需经过变数宣告（Variable declaration）。MATLAB同时也会自动进行记忆体的使用和回收，而不必像C语言,必须由使用者一一指定.这些功能使的MATLAB易学易用，使用者可专心致力於撰写程式，而不必被软体枝节问题所干扰。   

若不想让MATLAB每次都显示运算结果，只需在运算式最後加上分号（；）即可，如下例：

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);   

若要显示变数y的值，直接键入y即可：   

>>y   

y =-0.0045   

在上例中，sin是正弦函数，exp是指数函数，这些都是MATLAB常用到的数学函数。

下表即为MATLAB常用的基本数学函数及三角函数：   

小整理：MATLAB常用的基本数学函数

abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度

angle(z)：复 数z的相角(Phase angle)

sqrt(x)：开平方

real(z)：复数z的实部

imag(z)：复数z的虚 部

conj(z)：复数z的共轭复数

round(x)：四舍五入至最近整数

fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数

floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数

ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数

rat(x)：将实数x化为分数表示

rats(x)：将实数x化为多项分数展开

sign(x)：符号函数 (Signum function)。   

当x<0时，sign(x)=-1；   

当x=0时，sign(x)=0;   

当x>0时，sign(x)=1。   

> 小整理：MATLAB常用的三角函数

sin(x)：正弦函数

cos(x)：馀弦函数

tan(x)：正切函数

asin(x)：反正弦函数

acos(x)：反馀弦函数

atan(x)：反正切函数

atan2(x,y)：四象限的反正切函数

sinh(x)：超越正弦函数

cosh(x)：超越馀弦函数

tanh(x)：超越正切函数

asinh(x)：反超越正弦函数

acosh(x)：反超越馀弦函数

atanh(x)：反超越正切函数   

变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算，如下例的列向量（Row vector）运算：

x = [1 3 5 2];   

y = 2*x+1   

y = 3 7 11 5   

小提示：变数命名的规则   

1.第一个字母必须是英文字母 2.字母间不可留空格 3.最多只能有19个字母，MATLAB会忽略多馀字母   

我们可以随意更改、增加或删除向量的元素：  

y(3) = 2 % 更改第三个元素   

y =3 7 2 5   

y(6) = 10 % 加入第六个元素   

y = 3 7 2 5 0 10   

y(4) = [] % 删除第四个元素，   

y = 3 7 2 0 10   

在上例中，MATLAB会忽略所有在百分比符号（%）之後的文字，因此百分比之後的文字均可视为程式的注解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算：  

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算   

ans = 9   

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算   

ans = 6 1 -1   

在上例中，2:4代表一个由2、3、4组成的向量


若对MATLAB函数用法有疑问，可随时使用help来寻求线上支援（on-line help）：help linspace   

小整理：MATLAB的查询命令

help：用来查询已知命令的用法。例如已知inv是用来计算反矩阵，键入help inv即可得知有关inv命令的用法。（键入help help则显示help的用法，请试看看！） lookfor：用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令，可键入 lookfor inverse，MATLAB即会列出所有和关键字inverse相关的指令。找到所需的命令後 ，即可用help进一步找出其用法。（lookfor事实上是对所有在搜寻路径下的M档案进行关键字对第一注解行的比对，详见後叙。）   

将列向量转置（Transpose）後，即可得到行向量（Column vector）：   

z = x'   

z = 4.0000   

   5.2000   

   6.4000   

   7.6000   

   8.8000   

   10.0000   

不论是行向量或列向量，我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等：  

length(z) % z的元素个数   

ans = 6   

max(z) % z的最大值   

ans = 10   

min(z) % z的最小值   

ans =   4   

小整理：适用於向量的常用函数有：

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位数

std(x): 向量x的元素的标准差

diff(x): 向量x的相邻元素的差

sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）

length(x): 向量x的元素个数

norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度

sum(x): 向量x的元素总和

prod(x): 向量x的元素总乘积

cumsum(x): 向量x的累计元素总和

cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积

dot(x, y): 向量x和y的内 积

cross(x, y): 向量x和y的外积 （大部份的向量函数也可适用於矩阵，详见下述。）  



若要输入矩阵，则必须在每一列结尾加上分号（；），如下例：   

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];   

A =   

1  2  3  4   

5  6  7  8   

9  10 11  12   

同样地，我们可以对矩阵进行各种处理：   

A(2,3) = 5 % 改变位於第二列，第三行的元素值   

A =   

1  2  3  4   

5  6  5  8   

9  10 11  12   

B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B   

B = 5 6 5   

A = [A B'] % 将B转置後以行向量并入A   

A =   

1  2  3   4  5   

5  6  5   8  6   

9  10 11  12  5   

A(:, 2) = [] % 删除第二行（：代表所有列）   

A =   

1  3  4  5   

5  5  8  6   

9  11 12  5   

A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列   

A =   

1  3   4   5   

5  5   8   6   

9  11  12  5   

4  3   2   1   

A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列（：代表所有行）   

A =   

5  5   8   6   

9  11  12  5   

这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用，产生各种意想不到的效果，就看各位的巧思和创意。   

小提示：在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主（Column-oriented ）的阵列（Array）因此对於矩阵元素的存取，我们可用一维或二维的索引（Index）来定址。举例来说，在上述矩阵A中，位於第二列、第三行的元素可写为A(2,3) （二维索引）或A(6)（一维索引，即将所有直行进行堆叠後的第六个元素）。   

此外，若要重新安排矩阵的形状，可用reshape命令：   

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数，2是新矩阵的行数   

B =   

5   8   

9   12   

5   6   

11  5   

小提示： A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来，成为一个行向量，而这也是MATLAB变数的内部储存方式。以前例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)同样都会产生一个8x1的矩阵。  

MATLAB可在同时执行数个命令，只要以逗号或分号将命令隔开：   

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =   

7.5000   

若一个数学运算是太长，可用三个句点将其延伸到下一行：  

z = 10*sin(pi/3)* ...   

sin(pi/3);   

若要检视现存於工作空间（Workspace）的变数，可键入who：   

who   

Your variables are:   

testfile x   

这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料，可键入：   

whos   

Name Size Bytes Class  

A 2x4 64 double array   

B 4x2 64 double array   

ans 1x1 8 double array   

x 1x1 8 double array   

y 1x1 8 double array   

z 1x1 8 double array   

Grand total is 20 elements using 160 bytes   

使用clear可以删除工作空间的变数：   

clear A   

A   

??? Undefined function or variable 'A'.   

另外MATLAB有些永久常数（Permanent constants），虽然在工作空间中看不 到，但使用者可直接取用，例如：   

pi   

ans = 3.1416   

下表即为MATLAB常用到的永久常数。   

小整理：MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位

eps：系统的浮点（Floating-point）精确度

inf：无限大， 例如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number） ，例如0/0

pi：圆周率 p（= 3.1415926...）

realmax：系统所能表示的最大数值  

realmin：系统所能表示的最小数值

nargin: 函数的输入引数个数

nargin: 函数的输出引数个数   

1-2、重复命令   

最简单的重复命令是for

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2．1微分  

diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：   

diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值   

diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值   

diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值   

diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值   

    数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。   

    先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项：   

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   

>>S2 = 'sin(a)';   

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';   

>>diff(S1)   

ans=18*x^2-8*x+b   

>>diff(S1,2)   

ans= 36*x-8   

>>diff(S1,'b')   

ans= x   

>>diff(S2)   

ans=   

cos(a)   

>>diff(S3)   

ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3   

>>simplify(diff(S3))   

ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2  

2．2积分  

int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积

分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个：   

int(f) 传回f对预设独立变数的积分值   

int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值   

int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式   

int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式   

int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式   

我们示范几个例子：   

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';   

>>S2 = 'sin(a)';   

>>S3 = 'sqrt(x)';  

>>int(S1)   

ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x   

>>int(S2)   

ans= -cos(a)   

>>int(S3)   

ans= 2/3*x^(3/2)   

>>int(S3,'a','b')   

ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)   

>>int(S3,0.5,0.6)   

ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)   

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值   

ans= 0.0741  

2．3求解常微分方程式   

   MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，   

condition则为初始条件。      

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件      

y'=3x2, y(2)=0.5     

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25      

y'=3y+exp(2x), y(0)=3     

对应上述常微分方程式的符号运算式为：      

>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5')      

ans= x^3-7.500000000000000      

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相      



>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')      

ans= atan(x^2+1)     

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3')      

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)   



2．4非线性方程式的实根   

    要求任一方程式的根有三步骤：   

    先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。   

    代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。  

    由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。   

    以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。  

    例一、方程式为   

    sin(x)=0   

    我们知道上式的根有 ，求根方式如下：   

>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根   

  r=3.1416   

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根   

r = 6.2832  

    例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下：   

>> x=linspace(-2,3);   

>> y=humps(x);   

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根








  

>> r=fzero('humps',1.2)   

r = 1.2995  

例三、方程式为y=x.^3-2*x-5   

    这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：   

% m-function, f_1.m   

function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数   

y=x.^3-2*x-5;  

>> x=linspace(-2,3);   

>> y=f_1(x);   

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根

[ Last edited by jetzt on 2004-2-3 at 04:16 ]

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>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根   

r = 2.0946   

>> p=[1 0 -2 -5]   

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证   

r =   

2.0946   

-1.0473 + 1.1359i   

-1.0473 - 1.1359i   

2．5线性代数方程（组）求解

    我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下   

     AX=B   

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项  

要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除  做运算，即是 X=AB。   

    如果将原方程式改写成 XA=B  

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项  

    注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。   

    若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。   

    我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：   

>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入   

>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置   

>> X=AB % 先以左除运算求解   

X = % 注意X为行向量   

-2   

5   

6   

>> C=A*X % 验算解是否正确   

C = % C=B   



10   

5   

-1  

>> A=A'; % 将A先做转置   

>> B=[10 5 -1];   

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同   

X = % 注意X为列向量   

10  5  -1   

>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解

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MATLAB不但擅长於矩阵相关的数值运算，也适合用在各种科学目视表示（Scientific visualization）。

    本节将介绍MATLAB基本xy平面及xyz空间的各项绘图命令，包含一维曲线及二维曲面的绘制、列印及存档。   

    plot是绘制一维曲线的基本函数，但在使用此函数之前，我们需先定义曲线上每一点的x 及y座标。

下例可画出一条正弦曲线：   

close all;

x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100个点的x座标   

y=sin(x); % 对应的y座标   

plot(x,y);

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小整理：MATLAB基本绘图函数

plot: x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale）

loglog: x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmic scale）

semilogx: x轴为对数刻度，y轴为线性刻度

semilogy: x轴为线性刻度，y轴为对数刻度   

若要画出多条曲线，只需将座标对依次放入plot函数即可：   

plot(x, sin(x), x, cos(x));

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若要改变颜色，在座标对後面加上相关字串即可：   

plot(x, sin(x), 'c', x, cos(x), 'g');

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若要同时改变颜色及图线型态（Line style），也是在座标对後面加上相关字串即可：  

plot(x, sin(x), 'co', x, cos(x), 'g*');

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小整理：plot绘图函数的叁数 字元 颜色字元 图线型态y 黄色. 点k 黑色o 圆w 白色x  xb 蓝色+ +g 绿色* *r 红色- 实线c 亮青色: 点线m 锰紫色-. 点虚线-- 虚线  

图形完成後，我们可用axis([xmin,xmax,ymin,ymax])函数来调整图轴的范围：   

axis([0, 6, -1.2, 1.2]);

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此外，MATLAB也可对图形加上各种注解与处理：   

xlabel('Input Value'); % x轴注解   

ylabel('Function Value'); % y轴注解   

title('Two Trigonometric Functions'); % 图形标题   

legend('y = sin(x)','y = cos(x)'); % 图形注解   

grid on; % 显示格线