一道中学数学题

在一个平面内有三个互不相交的等圆A,B,C. 每个圆上各取一点,即a,b,c。问怎么取这三个点才能使角abc(b是角的顶点)最大或最小?

原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:39 发表


你先看看之前,我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆,它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法,只要找到圆心o,就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了,对应于o点的距离最大 ...
我现在也对正确答案是什么有些怀疑了

你这个答案哈,说说我的想法:1“只要找到最小角,那么它的补角就是最大角了”,但最小角的补角并不一定也同时经过三个圆呀;2还是没明白你究竟为什么说自己找到的角就是最小角。“对应于o点的距离最大为R+r,最小为R-r”,so what?然后呢,zai gei duo jiangjiang

omg, turan buneng xie zhongwen le...
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德国中学 有这么 变态的题 ?

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众牛人牛解万岁!  

看来还真是集思广益啊。 研讨氛围鼓舞大家循序渐进 、步步登高!

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原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 13:48 发表
然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线(这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线)。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线, ...

同意,这样说简单点,过两个圆心做直线,再过另一个圆做与此直线平行的切线,外切点为最小角顶点,内切点为最大角之顶点,从两顶点做与另外两个圆的切线,既得最大最小角。

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原帖由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:23 发表
这么客气

说说你的证明


你先看看之前,我给出的解法。主要思路是要找出一个大圆,它经过三个圆圆心。
按照你画三角形的或者大角对大边的说法,只要找到圆心o,就可以找到了对应于最大角或者最小角的顶点b了,对应于o点的距离最大为R+r,最小为R-r。
然后做切线,就得到了答案。

不过,你的答案解法有点麻烦哦。不过,估计结果是一样的。切线做得多,有点晕哦!
你说呢?

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 17:44 编辑 ]

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原帖由 Klein_Yu 于 2006-12-18 19:37 发表



不好意思,我承认我之前的解法有点问题。不过,麻烦你看看我之前修改的解法。

我的思路主要是要先确定下圆B上的b点。因为,三个圆是等圆的关系,所以先通过三个圆心找到一个大圆的圆心,作大圆。然后交 ...
这么客气

说说你的证明
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答案的道理来了 。。。

以找最大角为例,在顶点所在圆上任取答案中两切点之外的任一点a,分别做另外个圆的外切线ab和ac,则该角bac的两条边中至少有一条(只有一条的情况是另一边切于此圆)必然会跟顶点所在圆有第二个焦点,比如说ac就跟顶点所在圆相交于第二点d,从d点向左下的圆做切线de,显然现在重新得出的角edc,比原来的角bac大,从而bac肯定不是最大角!

(“显然”?你要是真不同意这是显然的事儿,那我就再罗索两句:线段adc不动,从射线ab开始顺时针转向移动,达到新的射线de,你说这个角度不是必然变大是什么?或者干脆更“傻解释”一下,从a点作de的平行线,这个平行线与ac形成的角必然大于角bac吧,而这个角度正是新角edc呀,哈哈)

同理,新角edc如果不是大案中提到的切点,则一样会有至少一条边必然跟顶点所在圆有第二个焦点,比如de交顶点所在圆于另一点g,则显然新新角egf比“新角”edc又大了。。。依此类推,一步一步新角越来越大,什么时候达到最值呢?角的两条边都分别不再与顶点所在圆有第二个交点的时候!也就是答案中所提到的切点!:naughty:

[ 本帖最后由 chinesesongs 于 2006-12-19 14:14 编辑 ]

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然后的问题是顶点该选在那个圆的什么位置。首先在另外两个圆对着顶点所在圆的那一侧做切线(这个切线在等圆的条件下其实就是圆心连线的平行线)。然后在顶点所在圆的外侧和内侧分别做下面两个圆外切线的平行线,并且分别各自切此圆于内外两侧。这内外两个切点就分别是我们要找的角的顶点了。答案得出

不过别急,问题是你怎么知道这两个点引出的切线所组成的角就是极值?嘿嘿,没错儿,证明起来还是有点儿小意思的

ps:注意哟,角的两边是另两个圆的切线呀,这个就跟什么圆心连线啥的没任何关系了。

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思路基本上就是我昨天说的那个。首先必须明确一点的是大边对大角,这是第一步的一个条件。。。而已!。。。

简单说最大角必然是下面第一个图的形式,最小角必然是第二个图的形式,其中的射线都是切线,这个我上面也已经讲过了,不再赘述。关键是顶点应该在哪个圆上。第三个图说明了确定的方法,每两个圆外侧做切线,组成个三角形,其中,最大边对应的角就是能做出题目要求最大角的那个圆了。

不过我实在没看出有什么必要非得先确定大边,既然边的长短能够比较,为什么不直接比较角的大小,莫非有只能尺规作图的条件限制,那样就比较说得通了,而且也符合三个等圆这个条件,因为等圆下圆心连线就是两圆的外切线(二者是平行的),这样讲起来题目强调是等圆还算有一定意义。

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