一道中学数学题

在一个平面内有三个互不相交的等圆A,B,C. 每个圆上各取一点,即a,b,c。问怎么取这三个点才能使角abc(b是角的顶点)最大或最小?

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原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 13:30 发表
一般 几何 还是 解析集合啊?

这个就是仁者见仁,智者见智了。

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这道题有点挑战哦。其实,求最大角或者最小角,都是一样的,只要找到最小角,那么它的补角就是最大角了。
取圆ABC的圆心连线,则为一个三角形(如果连成一直线为特殊情况)。
取此三角形的两边线的中垂线,交于一点,设为o点,则可以作一个经过三个小圆圆心的大圆设半径为R,并且还可以作一个半径为R+r的圆,分别交三个圆ABC于mbn。
连接o点和圆B的圆心,并延长至半径为R+r的圆上,显然交于b点。
那样子,b点可以确定下来了。然后,经过b点,分别作圆A和圆C的切线,分别交于a点和c点。
如此,角abc的最小值就找到了。

对于极端情况,圆ABC圆心连成一直线。
         若圆B的圆心在圆A和圆C的延长线上,那么最小角为0度,最大角为360度。
         否则,作法跟非极限情况一样,只是大圆R的半径为无限大。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-19 09:49 编辑 ]

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原帖由 伊丽莎白女王 于 2006-12-18 15:15 发表




如果这 3 个圆 的圆心位置 在 1 条线上,  还有讨论的意义吗?

这是一种可能性,当然还有其他可能性。

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原帖由 seefilm 于 2006-12-18 15:13 发表
错误,上图中AC最高点连接上直线和B下方的交点,就比你那个最大角大。


首先,我说这道题有点挑战性,是因为它没有说清楚,看角最大最小,是什么范围内!
这个角可以是钝角、也可以是锐角。

所以,我所给出的解法,如果你算角abc的钝角的话,则完全正确。

如果三个圆的圆心在一条直线上,那么如果圆B在圆A和圆C中间,最大的角就是180度;否则就是360度。

[ 本帖最后由 Klein_Yu 于 2006-12-18 15:25 编辑 ]

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